Dérivée : formules, règles de dérivation et exemples

Q: Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f′(a) est un nombre : la pente de la tangente au point d'abscisse a. La fonction dérivée f′ est la fonction qui, à chaque x où f est dérivable, associe le nombre dérivé f′(x). Pour f(x) = x2, la fonction dérivée est f′(x) = 2x et le nombre dérivé en 3 vaut f′(3) = 6.

Q: Quelle est la dérivée de ln(x) et de e^x ?

La dérivée de ln x est 1/x, sur ]0 ; +∞[. La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (ex)′ = ex. Pour une composée, on multiplie par la dérivée de l'intérieur : (ln u)′ = u′/u et (eu)′ = u′eu.

Q: Quelle est la dérivée de la racine carrée de x ?

(√x)′ = 1/(2√x), uniquement pour x > 0 : la racine carrée est définie en 0 mais n'y est pas dérivable, car sa courbe y a une tangente verticale. Pour une racine d'expression, (√u)′ = u′/(2√u) là où u > 0.

La dérivée d'une fonction mesure la vitesse à laquelle elle varie : le nombre dérivé f′(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Pour dériver une fonction, on combine les formules des dérivées usuelles et les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée), réunies dans les tableaux de cette page.

Sommaire

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ?
Tableau des dérivées usuelles
Les règles de dérivation : somme, produit, quotient
Dériver une fonction composée
Signe de la dérivée et sens de variation
Dérivée seconde et convexité
À quoi sert la dérivée ?
Les cours du dossier dérivées et fonctions
Les erreurs fréquentes en dérivation
Questions fréquentes

Courbes de f et de f′

Étapes de résolution

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (ln u : u > 0 ; dénominateur non nul)
On reconnaît un produit uv avec
On dérive chaque facteur
On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = x² ln x
f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (ln u : u > 0 ; dénominateur non nul)f est dérivable sur ]0 ; +∞[
On reconnaît un produit uv avecu(x) = x² ; v(x) = ln x
On dérive chaque facteuru′(x) = 2x ; v′(x) = 1x(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ; (ln x)′ = 1x
On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′f′(x) = 2x × ln x + x² × 1x
On simplifief′(x) = 2x ln x + x

f′(x) = 2x ln x + x

Courbe de f en trait plein, de f′ en orange.

Tapez la fonction comme sur votre cahier : x^2 ln(x), e^(3x), sqrt(x^2 + 1) ou (x + 1)/(x - 2). Le solveur reconnaît la forme (produit, quotient, composée), nomme u et v, applique la formule, simplifie le résultat et trace les courbes de f et de f′.

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ?

Le nombre dérivé, limite d'un taux de variation

Entre les abscisses a et a + h, la fonction f passe de f(a) à f(a + h). Le quotient de la variation de f par la variation de x s'appelle le taux de variation (ou taux d'accroissement). Géométriquement, c'est la pente de la droite qui joint les deux points de la courbe.

Quand h tend vers 0, cette droite sécante se rapproche de la tangente. Si le taux de variation a une limite finie, on dit que f est dérivable en a, et cette limite est le nombre dérivé :

f′(a) = lim_{h → 0} f(a + h) − f(a)h

Exemple avec f(x) = x² et a = 3 : (3 + h)² − 9 = 6h + h², donc le taux de variation vaut 6 + h pour h ≠ 0. Il tend vers 6 quand h tend vers 0 : f′(3) = 6.

La tangente à la courbe

Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A(a ; f(a)). Cette tangente a pour équation :

y = f′(a)(x − a) + f(a)

Pour f(x) = x² en a = 3 : y = 6(x − 3) + 9, soit y = 6x − 9. La tangente est une droite, donc la représentation d'une fonction affine : près du point de contact, elle « colle » à la courbe. Une tangente horizontale correspond à un nombre dérivé nul.

La fonction dérivée et ses notations

Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, la fonction qui à chaque x de I associe f′(x) est la fonction dérivée de f, notée f′. Dériver une fonction, c'est trouver l'expression de f′(x). On rencontre aussi la notation de Leibniz df/dx, courante en physique, où la dérivée par rapport au temps se note parfois avec un point (ẋ).

Toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout. La valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : son taux de variation vaut 1 pour h > 0 et −1 pour h < 0, sans limite commune (la courbe forme un angle). La racine carrée n'est pas dérivable en 0 : son taux de variation √h/h = 1/√h tend vers +∞, et la tangente est verticale.

Tableau des dérivées usuelles

Ces formules de dérivées sont à connaître par cœur : toutes les autres s'en déduisent avec les règles de dérivation. La dernière colonne indique où la formule est valable.

Fonction f(x)	Dérivée f′(x)	Dérivable sur
k (constante)	0	ℝ
x	1	ℝ
ax + b	a	ℝ
x²	2x	ℝ
x³	3x²	ℝ
xⁿ (n entier, n ≥ 1)	nx^{n − 1}	ℝ
1x	−1x²	]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[
1xⁿ (n entier, n ≥ 1)	−nx^{n + 1}	]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[
√x	12√x	]0 ; +∞[
e^x	e^x	ℝ
ln x	1x	]0 ; +∞[
sin x	cos x	ℝ
cos x	−sin x	ℝ
tan x	1 + tan² x = 1cos² x	là où cos x ≠ 0
a^x (a > 0)	(ln a) a^x	ℝ

La formule (xⁿ)′ = nx^{n − 1} se retient ainsi : l'exposant descend devant et diminue de 1. Elle reste vraie pour 1/xⁿ = x⁻ⁿ et, sur ]0 ; +∞[, pour √x = x^1/2, ce qui redonne les lignes du tableau. Les fonctions exponentielle et logarithme népérien ont chacune leur cours, avec leurs propriétés et leurs courbes.

Les règles de dérivation : somme, produit, quotient

Dans le tableau suivant, u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle et k est un réel.

Opération	Formule de dérivation	Condition
Somme	(u + v)′ = u′ + v′	—
Produit par un réel	(ku)′ = ku′	—
Produit	(uv)′ = u′v + uv′	—
Inverse	(1v)′ = −v′v²	v ne s'annule pas
Quotient	(uv)′ = u′v − uv′v²	v ne s'annule pas

Une fonction polynôme se dérive terme à terme, grâce aux deux premières règles : chaque monôme axⁿ devient nax^{n − 1} et la constante disparaît.

Polynôme : (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = 3x² − 5x + 2
On dérive terme à terme la fonction polynôme : (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ et (k)′ = 0f′(x) = 3 × 2x − 5 = 6x − 5

f′(x) = 6x − 5

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Avec u(x) = v(x) = x, on a uv = x², de dérivée 2x, alors que u′v′ = 1. La formule u′v + uv′ donne bien x + x = 2x.

(uv)′ = u′v + uv′

Produit : (uv)′ = u′v + uv′

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (ln u : u > 0 ; dénominateur non nul)
On reconnaît un produit uv avec
On dérive chaque facteur
On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = x² ln x
f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (ln u : u > 0 ; dénominateur non nul)f est dérivable sur ]0 ; +∞[
On reconnaît un produit uv avecu(x) = x² ; v(x) = ln x
On dérive chaque facteuru′(x) = 2x ; v′(x) = 1x(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ ; (ln x)′ = 1x
On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′f′(x) = 2x × ln x + x² × 1x
On simplifief′(x) = 2x ln x + x

f′(x) = 2x ln x + x

Pour un quotient, l'ordre compte : le numérateur est u′v − uv′, jamais l'inverse, et le dénominateur v² est positif. Ne le développez pas : le signe de la dérivée ne dépend alors que du numérateur, ce qui facilite l'étude des variations.

(uv)′ = u′v − uv′v²

Quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (ln u : u > 0 ; dénominateur non nul)
On reconnaît un quotient uv avec
On dérive le numérateur et le dénominateur
On applique la formule (uv)′ = u′v − uv′v²
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = ln xx
f est dérivable là où f et l’expression de sa dérivée sont définies (ln u : u > 0 ; dénominateur non nul)f est dérivable sur ]0 ; +∞[
On reconnaît un quotient uv avecu(x) = ln x ; v(x) = xpour v(x) ≠ 0
On dérive le numérateur et le dénominateuru′(x) = 1x ; v′(x) = 1(ln x)′ = 1x
On applique la formule (uv)′ = u′v − uv′v²f′(x) = 1x × x − ln x × 1x²
On simplifief′(x) = 1 − ln xx²

f′(x) = 1 − ln xx²

Quand le numérateur est constant, la formule de l'inverse est plus rapide que celle du quotient : il n'y a qu'une dérivée à calculer.

Inverse : (1/v)′ = −v′/v²

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
On reconnaît la forme 1v
On applique la formule (1v)′ = −v′v²
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = 1x² + 1
On reconnaît la forme 1vv(x) = x² + 1 ; v′(x) = 2x(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
On applique la formule (1v)′ = −v′v²f′(x) = −2x(x² + 1)²
On simplifief′(x) = −2x(x² + 1)²

f′(x) = −2x(x² + 1)²

Dériver une fonction composée

Une fonction composée applique une fonction g à une expression u(x) : e^3x, ln(x² + 1) ou (2x − 1)⁵. On dérive la fonction extérieure, évaluée en u(x), puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur :

(g(u(x)))′ = u′(x) × g′(u(x))

Les cas les plus fréquents donnent les formules suivantes, où u est une fonction dérivable :

Fonction	Dérivée	Condition
uⁿ (n entier, n ≥ 1)	nu′u^{n − 1}	—
√u	u′2√u	u > 0
e^u	u′e^u	—
ln u	u′u	u > 0
sin u	u′ cos u	—
cos u	−u′ sin u	—
g(ax + b)	a g′(ax + b)	—

La dernière ligne règle les cas simples d'un coup d'œil : (cos(2x))′ = −2 sin(2x) et (e^3x)′ = 3e^3x. Les exemples suivants appliquent chaque formule.

Puissance : (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
On reconnaît la forme uⁿ avec n = 5 et
On applique la formule (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = (2x − 1)⁵
On reconnaît la forme uⁿ avec n = 5 etu(x) = 2x − 1 ; u′(x) = 2(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
On applique la formule (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹f′(x) = 5 × 2 × (2x − 1)⁴
On simplifief′(x) = 10(2x − 1)⁴

f′(x) = 10(2x − 1)⁴

Racine : (√u)′ = u′/(2√u)

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
On reconnaît la forme √u avec
On applique la formule (√u)′ = u′2√u
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = √x² + 1
On reconnaît la forme √u avecu(x) = x² + 1 ; u′(x) = 2xdérivable là où u(x) > 0
On applique la formule (√u)′ = u′2√uf′(x) = 2x2√x² + 1
On simplifief′(x) = x√x² + 1

f′(x) = x√x² + 1

Exponentielle : (eᵘ)′ = u′eᵘ

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
On reconnaît la forme e^u avec
On applique la formule (e^u)′ = u′e^u
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = e^{−2x + 1}
On reconnaît la forme e^u avecu(x) = −2x + 1 ; u′(x) = −2
On applique la formule (e^u)′ = u′e^uf′(x) = (−2) × e^{−2x + 1}
On simplifief′(x) = −2e^{−2x + 1}

f′(x) = −2e^{−2x + 1}

Logarithme : (ln u)′ = u′/u

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
On reconnaît la forme ln u avec
On applique la formule (ln u)′ = u′u

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = ln(x² + 1)
On reconnaît la forme ln u avecu(x) = x² + 1 ; u′(x) = 2xdérivable là où u(x) > 0
On applique la formule (ln u)′ = u′uf′(x) = 2xx² + 1

f′(x) = 2xx² + 1

Une même fonction peut demander plusieurs règles à la fois : sin(3x) cos x est un produit dont le premier facteur est une composée.

Sinus et cosinus : (sin u)′ = u′ cos u, (cos u)′ = −u′ sin u

La méthode en bref

On veut dériver la fonction f définie par
On reconnaît un produit uv avec
On dérive chaque facteur
On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′
On simplifie

On veut dériver la fonction f définie parf(x) = sin(3x) cos x
On reconnaît un produit uv avecu(x) = sin(3x) ; v(x) = cos x
On dérive chaque facteuru′(x) = 3 cos(3x) ; v′(x) = −sin x(sin u)′ = u′ cos u ; (cos u)′ = −u′ sin u
On applique la formule (uv)′ = u′v + uv′f′(x) = 3 cos(3x) × cos x + sin(3x) × (−sin x)
On simplifief′(x) = 3 cos(3x) cos x − sin(3x) sin x

f′(x) = 3 cos(3x) cos x − sin(3x) sin x

Signe de la dérivée et sens de variation

Le lien entre la dérivée et les variations est la principale raison de dériver une fonction. Sur un intervalle I :

si f′(x) > 0 pour tout x de I (sauf éventuellement en des points isolés où elle s'annule), f est strictement croissante sur I ;
si f′(x) < 0 sur I, dans les mêmes conditions, f est strictement décroissante sur I ;
si f′(x) = 0 pour tout x de I, f est constante sur I.

Si la dérivée s'annule en a en changeant de signe, f admet un extremum local en a : un maximum si f′ passe de + à −, un minimum si elle passe de − à +. L'annulation seule ne suffit pas : (x³)′ = 3x² s'annule en 0 sans changer de signe, et x³ est croissante sur ℝ, sans extremum.

Exemple : pour f(x) = x³ − 3x, on trouve f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Ce trinôme est négatif entre −1 et 1, positif à l'extérieur. La fonction est donc croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum local f(−1) = 2 et un minimum local f(1) = −2. Ces résultats se présentent dans un tableau de variation, dont la méthode complète a sa propre page.

Dérivée seconde et convexité

La dérivée de f′, quand elle existe, est la dérivée seconde f″. Elle renseigne sur la courbure : si f″ ≥ 0 sur un intervalle, f y est convexe (sa courbe est au-dessus de ses tangentes, elle « tourne vers le haut ») ; si f″ ≤ 0, elle est concave. Un point où f″ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion : la courbe y traverse sa tangente.

Avec f(x) = x³ − 3x : f″(x) = 6x, négative sur ]−∞ ; 0] et positive sur [0 ; +∞[. La fonction est concave puis convexe, et l'origine O(0 ; 0) est un point d'inflexion.

À quoi sert la dérivée ?

Trouver un maximum ou un minimum

Problème classique d'optimisation : parmi les rectangles de périmètre 20 cm, lequel a la plus grande aire ? Si un côté mesure x cm, l'autre mesure 10 − x, et l'aire vaut A(x) = x(10 − x) = 10x − x² pour x dans [0 ; 10]. La dérivée A′(x) = 10 − 2x est positive avant 5 et négative après : l'aire est maximale pour x = 5. Le meilleur rectangle est le carré de 5 cm de côté, d'aire 25 cm².

Calculer une vitesse

Si d(t) est la position d'un mobile à l'instant t, sa vitesse instantanée est v(t) = d′(t) et son accélération v′(t). Pour d(t) = 5t² (en mètres, t en secondes), v(t) = 10t : au bout de 2 s, le mobile roule à 20 m/s.

Approcher une valeur

Près de a, la courbe se confond presque avec sa tangente : f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h pour h petit. Avec la racine carrée en 4, où f′(4) = 1/4 : √4,1 ≈ 2 + 0,1 × 1/4 = 2,025. La calculatrice donne 2,02485…, l'erreur est inférieure à 0,001.

Lever une indéterminée

Certaines limites sont des nombres dérivés déguisés. Le quotient (e^x − 1)/x est le taux de variation de l'exponentielle entre 0 et x : sa limite en 0 est le nombre dérivé de l'exponentielle en 0, soit 1. Cette technique est reprise dans le cours de calcul de limites.

Les cours du dossier dérivées et fonctions

Chaque notion liée à la dérivation a sa page, avec un outil qui rédige les étapes et des exemples corrigés.

Pour vous entraîner sur n'importe quelle fonction, le calcul de dérivée en ligne détaille la méthode, la dérivée seconde et l'équation de la tangente. L'étude complète d'une fonction (domaine, dérivée, signe, extremums, limites aux bornes) aboutit au tableau de variation d'une fonction, que le solveur construit automatiquement.

Le comportement aux bornes relève du calcul de limites : formes indéterminées, asymptotes et croissances comparées. Les deux grandes fonctions de référence du lycée ont chacune un cours complet : la fonction exponentielle, seule fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0, et le logarithme népérien, sa réciproque, de dérivée 1/x.

La fonction affine est la plus simple des fonctions dérivables : sa dérivée est constante, égale au coefficient directeur. Enfin, les suites arithmétiques et géométriques sont le pendant discret des fonctions affines et exponentielles : une suite arithmétique croît d'une quantité fixe à chaque rang, une suite géométrique est multipliée par un facteur fixe.

Calcul de dérivéeDériver pas à pas, dérivée seconde, équation de la tangente. Tableau de variationSigne de f′, sens de variation, extremums et limites aux bornes. Calcul de limitesLimites usuelles, formes indéterminées, asymptotes. Fonction exponentiellef′ = f, propriétés algébriques, équations et croissance. Logarithmeln, propriétés, équations, log décimal, pH et décibels. Fonction affinef(x) = ax + b, coefficient directeur, droite et signe. Suites numériquesSuites arithmétiques et géométriques, sommes, seuil.

Les erreurs fréquentes en dérivation

Dériver un produit facteur par facteur : (x² ln x)′ n'est pas 2x × 1/x ; il faut u′v + uv′.
Oublier u′ dans une composée : (e^−2x)′ = −2e^−2x, pas e^−2x ; (sin(5x))′ = 5 cos(5x).
Inverser le numérateur du quotient : uv′ − u′v donne l'opposé du bon résultat, donc des variations inversées.
Dériver une constante écrite avec des symboles : ln 5, e² ou π² sont des nombres, leur dérivée est 0.
Confondre dérivée et primitive : la dérivée de ln x est 1/x, mais la dérivée de 1/x est −1/x², pas ln x. Le chemin inverse, de f′ vers f, est celui des primitives.
Oublier le domaine : ln x et √x ne se dérivent que pour x > 0 ; un quotient, là où le dénominateur ne s'annule pas.

Pour contrôler une dérivée, calculez-la en un point simple et comparez avec le taux de variation (f(a + 0,001) − f(a))/0,001 à la calculatrice, ou comparez votre copie, ligne par ligne, avec le solveur mathématique.

La dérivation sert ensuite partout : pour résoudre des équations par l'étude d'une fonction, pour calculer des intégrales (qui inversent la dérivation) et pour les équations différentielles. Les fiches d'exercices corrigés permettent de s'entraîner à dériver des fonctions variées.

Questions fréquentes

Comment calculer la dérivée d'une fonction ?

Repérez d'abord la forme de la fonction : somme, produit uv, quotient u/v ou composée (puissance, racine, exponentielle, logarithme d'une expression). Nommez u et v, calculez u′ et v′ avec le tableau des dérivées usuelles, appliquez la formule de la forme reconnue, puis simplifiez et factorisez si vous devez étudier le signe. Le calcul de dérivée en ligne rédige chacune de ces étapes.

À quoi sert la dérivée d'une fonction ?

Elle mesure la vitesse à laquelle la fonction varie. Son signe donne le sens de variation (croissante quand f′ > 0, décroissante quand f′ < 0), ses zéros localisent les maximums et minimums, et le nombre dérivé donne la pente de la tangente. En physique, la vitesse est la dérivée de la position ; en économie, le coût marginal est la dérivée du coût total.

Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f′(a) est un nombre : la pente de la tangente au point d'abscisse a. La fonction dérivée f′ est la fonction qui, à chaque x où f est dérivable, associe le nombre dérivé f′(x). Pour f(x) = x², la fonction dérivée est f′(x) = 2x et le nombre dérivé en 3 vaut f′(3) = 6.

Quelle est la dérivée de ln(x) et de e^x ?

La dérivée de ln x est 1/x, sur ]0 ; +∞[. La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)′ = e^x. Pour une composée, on multiplie par la dérivée de l'intérieur : (ln u)′ = u′/u et (e^u)′ = u′e^u.

Quelle est la dérivée de la racine carrée de x ?

(√x)′ = 1/(2√x), uniquement pour x > 0 : la racine carrée est définie en 0 mais n'y est pas dérivable, car sa courbe y a une tangente verticale. Pour une racine d'expression, (√u)′ = u′/(2√u) là où u > 0.

Comment trouver le signe de la dérivée ?

Factorisez f′(x) au maximum, puis étudiez le signe de chaque facteur : signe d'une expression affine, d'un trinôme (signe de a à l'extérieur des racines), d'une exponentielle (toujours positive), d'un carré (positif). Regroupez le tout dans un tableau de signes : la règle des signes donne le signe du produit ou du quotient.

Dérivée : formules, règles de dérivation et exemples

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ?

Le nombre dérivé, limite d'un taux de variation

La tangente à la courbe

La fonction dérivée et ses notations

Tableau des dérivées usuelles

Les règles de dérivation : somme, produit, quotient

Dériver une fonction composée

Signe de la dérivée et sens de variation

Dérivée seconde et convexité

À quoi sert la dérivée ?

Trouver un maximum ou un minimum

Calculer une vitesse

Approcher une valeur

Lever une indéterminée

Les cours du dossier dérivées et fonctions

Les erreurs fréquentes en dérivation

Questions fréquentes

À lire aussi

Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction ?

À quoi sert la dérivée ?